Есть предположение, будто это словосочетание, означающее «дать делу длительную отсрочку», «надолго задержать его решение», возникло еще в Московской Руси, триста лет назад.

Царь Алексей, отец Петра I, приказал в селе Коломенском перед своим дворцом установить длинный ящик, куда всякий мог бы опустить свою жалобу. Жалобы опускались, но дождаться решений было очень не легко; часто до того проходили месяцы и годы. Народ переименовал этот «длинный» ящик в «долгий».

Трудно, однако, поручится за точность этого объяснения: ведь говорим мы не «опустить» или не «положить», а «отложить в долгий ящик». Можно думать, что выражение если и не родилось, то закрепилось в речи позднее, в «присутствиях» - учреждениях  XIX века. Тогдашние чиновники, принимая разные прошения, жалобы и ходатайства, несомненно, сортировали их, раскладывая по разным ящикам. «Долгим» мог называться  тот, куда откладывались самые неспешные дела. Понятно, что такого ящика просители боялись.  

Кстати сказать, нет надобности считать, что кто-то когда-то специально переименовал «длинный» ящик в «долгий»: во многих местах нашей страны в народном языке «долгий» именно и значит «длинный».

Тот же смысл имеет и родившееся позднее выражение «положить под сукно». Сукном покрывали столы в российских канцеляриях.