Собственно, это французская поговорка, перенесенная к нам в XVIII  -  XIX веках. Она и не могла возникнуть в России: русские люди до этого времени не знали каштанов и не употребляли их в пищу.

У французского великого баснописца Лафонтена есть басня «Обезьяна и кот». Хитрая обезьяна, заметив пекущие ся в очаге вкусные каштаны и не желая обжечь ими лапы, приспособила для этой цели кота:

Каштаны Баська вынимает, 
Мартышка же их подбирает...